若函数y=f(x)的值域是[0.5，3]，则函数F(x)=f(x)+1/f(x)的值域是？ 答案：在[1，3]增函数故 [2,10/3]

把F(x)看成一个复合函数，F(x) = g(f(x))，其中g(x) = x + 1/x。

f(x)的值域是[0.5, 3]，相当于g(x)的定义域是[0.5, 3]。即问题转化为：
求g(x) = x + 1/x的值域，其中x属于[0.5, 3]

x + 1/x 这个函数，在(0,1]上单调减，在[1, +无穷)上单调增。所以要对[0.5, 3]分段讨论。

当x属于[0.5, 1]时，g(x)单调减，g(0.5) = 2.5, g(1) = 2，值域为[2, 2.5]
当x属于[1, 3]时，g(x)单调增，g(1) = 2, g(3) = 10/3，值域为[2, 10/3]
两个值域并起来，就是[2, 10/3]。

因为函数图像是在第一象限的双曲线一支,在x=1时函数取最小值2;在x=3时函数取最大值10/3;

看一个简单的函数：y=x+1/x
假设x2大于x1，则y2-y1=(x2-x1)+(1/x2-1/x1)=(x2-x1)+((x1-x2)/x1x2)=((x1x2-1)(x2-x1))/x1x2,当x1x2-1大于0时y2大于y1，即递增，此时X2大于x1大于1，此函数在[1，3]递增。
你的问题和这一样